☛ ** Sphère

Énoncé

Démontrer que l'ensemble des points  $\text{M}(x;y;z)$  tels que  $x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0$  est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Solution

On commence par regrouper les termes « en $x$  », « en $y$  » et « en $z$  » .
On obtient :  $x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\iff x^2-2x+y^2+8y+z^2-10z=-38.$

On utilise les deux premières identités remar quables :
$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$  et  $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ .
On en déduit :  $a^2\pm 2ab=(a\pm b{)}^2-b^2$ .

Ainsi :

• $x^2-2x=(x-1{)}^2-1^2=(x-1{)}^2-1$
  
• $y^2+8y=(y+4{)}^2-4^2=(y+4{)}^2-16$
  
• $z^2-10z=(z-5{)}^2-5^2=(z-5{)}^2-25$
  

D'où :
$x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\iff (x-1{)}^2-1+(y+4{)}^2-16+(z-5{)}^2-25=-38$ .

Soit :  $x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\iff \boxed{{\displaystyle (x-1{)}^2+(y+4{)}^2+(z-5{)}^2=4}}$ .

Conclusion : cet ensemble est la sphère $S$ de centre  $\text{A}(1;-4;5)$  et de rayon  $r=2$ .