☛ ** Sphère

Énoncé

Démontrer que l'ensemble des points  \(\text M(x~;y~;z)\)  tels que  \(x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\)  est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Solution

On commence par regrouper les termes « en \(x\)  », « en \(y\)  » et « en \(z\)  » .
On obtient :  \(x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\Leftrightarrow x^2-2x+y^2+8y+z^2-10z=-38.\)

On utilise les deux premières identités remar quables :
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)  et  \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) .
On en déduit :  \(a^2\pm2ab=(a\pm b)^2-b^2\) .

Ainsi :

• \(x^2-2x=(x-1)^2-1^2=(x-1)^2-1\)
  
• \(y^2+8y=(y+4)^2-4^2=(y+4)^2-16\)
  
• \(z^2-10z=(z-5)^2-5^2=(z-5)^2-25\)
  

D'où :
\(\small x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\Leftrightarrow \small (x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-5)^2-25=-38\) .

Soit :  \(x^2+y^2+z^2-2x+8y-10z+38=0\Leftrightarrow \boxed{(x-1)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=4}\) .

Conclusion : cet ensemble est la sphère \(S\) de centre  \(\text A(1~;-4~;~5)\)  et de rayon  \(r=2\) .